Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ x \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{2}$ a $ℝ^{2}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $M$ conserva la propiedad de la suma.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Paso 6

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \end{array}]$

Paso 7

Como la propiedad de la suma de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$